Selasa, 06 Desember 2011

KORELASI DAN REGRESI

REGRESI GANDA

I.      Pengertian Regresi Ganda

Regresi ganda adalah regresi suatu variable terikat yang memiliki  lebih dari satu variable bebas. Bentuk persamaan umum dari regresi ganda adalah :
 

Regresi ganda berguna untuk mencari pengaruh dua variable predictor atau untuk mencari hubungan fungsional dua variable penjelas (variable bebas) atau lebih terhadap variable respon(variable terikat). Penyelesaian regresi ganda dapat menggunakan notasi matriks dan persamaan linear dengan metode substitusi dan eliminasi.

II.         Metode Regresi Ganda

a.     Metode Matriks

Dalam notasi matriks, p merupakan variable bebas berdasarkan jumlah pengamatan (n):

Dengan
Y = vector variable terikat berukuran nX1
X = matriks variable bebas berukuran n X (p+1)
 QUOTE    = vector koefisien regresi berukuran (p+1) X 1
 QUOTE   = vector galat berukuran nX1

 


 
Pendugaan koefisien regresi di buat dengan cara mendapatkan solusi atas persamaan normal yaitu
 


Sehingga

Selanjutnya ragan bagi  QUOTE   , s2{b}, dalam notasi matriks dituliskan sebagai :



dengan
 


Sehingga uji hpotesis atas H0 : bk ¹ 0 ; k = 0, 1, 2, 3, …….., p
Dapat di buat dengan criteria uji T.  Tolak H0 jika t  lebih kecil atau sama dengan -ta/2,n-(p+1) atau sama dengan -ta/2,n-p dengan                     , P(T ³ -ta/2,n-(p+1)) = a/2, dan
Pendugaan Nilai Peubah Respon galat baku bagi dugaan nilai-tengah Y dan dugaan nilai Y pada X tertentu, Xt’ dalam bentuk matriks masing-masing adalah :
 


Selang kepercayaan (1-a) 100% bagi nilai tengah Y dan dugaan nilai Y pada X tertentu ,  masing-masing adalah:


Jumlah kuadrat total, jumlah kuadrat regresi dan jumlah kuadrat galat dalam matriks ditulis masing-masing sebagai berikut:
 





Derajat bebas yang berpadanan dengan masing-masing jumlah kuadrat tersebut adalah :


Koefisien determinasi yang merupakan ukuran kesesuaian model dapat dihitung yaitu:
 


b.     Metode Persamaan Linear

Persamaan regresi ganda dapat digunakan dalam perhitungan nilai Y untuk setiap perhitungan nilai X1dan X2. Perubahan nilai Y disebabkan oleh perubahan X1, ketika X2 konstan ataupun sebaliknya. Data pada table regresi, yang terdiri dari variable X1, X2, dan Y dapat di hitung dengan persamaan sebagai berikut:
 




 Persamaan regresi ganda dapat di uji dengan persamaan berikut ini:
 






Kemudian mencari Rhintung dengan rumus:
 



Setelah Rhintung  diperoleh maka kuadratkanlah Rhintung. Kemudian menghitung F sign hitung dengan rumus:
 


Contoh soal:
1.     Diberikan data sebagai berikut:
Y
X1
X2
23.3
5
13
24.5
6
14
27.2
8
17
27.1
9
17
24.1
7
14
23.4
5
13
24.3
6
14
24.1
7
14
27.2
9
17
27.3
8
17
27.4
8
17
27.3
9
17
24.3
6
14
23.4
5
13
24.1
7
14
27
9
17
23.5
5
13
24.3
6
14
27.3
8
17
23.7
7
14

Tentukan koefisien regresi X1, X2, dan Y dengan metode:
i)       Persamaan linear
hitung pula nilai determinasi korelasiberganda dan F sign hitung
ii)    Matriks
Penyelesaian:
Koefisien regresi X1, X2, dan Y
i)          Persamaan linear
Buat table sebagai berikut:       
No
Y
X1
X2
X1Y
X2Y
X1X2
(X1)2
(X2)2
Y2
1
23.3
5
13
116.5
302.9
65
25
169
542.89
2
24.5
6
14
147
343
84
36
196
600.25
3
27.2
8
17
217.6
462.4
136
64
289
739.84
4
27.1
9
17
243.9
460.7
153
81
289
734.41
5
24.1
7
14
168.7
337.4
98
49
196
580.81
6
23.4
5
13
117
304.2
65
25
169
547.56
7
24.3
6
14
145.8
340.2
84
36
196
590.49
8
24.1
7
14
168.7
337.4
98
49
196
580.81
9
27.2
9
17
244.8
462.4
153
81
289
739.84
10
27.3
8
17
218.4
464.1
136
64
289
745.29
11
27.4
8
17
219.2
465.8
136
64
289
750.76
12
27.3
9
17
245.7
464.1
153
81
289
745.29
13
24.3
6
14
145.8
340.2
84
36
196
590.49
14
23.4
5
13
117
304.2
65
25
169
547.56
15
24.1
7
14
168.7
337.4
98
49
196
580.81
16
27
9
17
243
459
153
81
289
729
17
23.5
5
13
117.5
305.5
65
25
169
552.25
18
24.3
6
14
145.8
340.2
84
36
196
590.49
19
27.3
8
17
218.4
464.1
136
64
289
745.29
20
23.7
7
14
165.9
331.8
98
49
196
561.69
504.8
140
300
3575.4
7627
2144
1020
4556
12795.82
Rata2
25.24
7
15
178.77
381.35
107.2
51
227.8
639.791


Dengan mensubstitusikan nilai masing-masing yang tertera pada table ke dalam persamaan di atas, sehingga:
504.8 = 20a + 140 b1 + 300 b2                             ……………………………(1)
3575,4 = 140 a + 1020 b1 + 2144 b2                    ……..………………(2)
7627 = 300 a + 2144 b1 + 4556 b2             ………………………… (3)
Eliminasi a dari persamaan (1) dan (2). Persamaan 1 dikalikan dengan -7 dan persamaan 2 dikalikan dengan 1
20a + 140 b1 + 300 b2    = 504.8                          (x-7)
140 a + 1020 b1 + 2144 b2 = 3575,4                    (x1)
sehingga diperoleh:
           40 b1 + 44 b2 = 41.8                                             …………..(4)
         Eliminasi a dari persamaan (1) dan (3)
            20a + 140 b1 + 300 b2 = 504.8                  (x-15)
                   300 a + 2144 b1 + 4556 b2 = 7627           (x1)
           Sehingga diperoleh :
           44 b1 + 56 b2  = 55                                               ……………(5)
         Eliminasi persamaan (4) dan (5)
            40 b1 + 44 b2 = 41.8              (x-44)
           44 b1  + 56 b2  = 55                  (x40)
           Sehingga diperoleh b2 = 1.1868 dan b1  = 0.26
           Maka nilai a dapat dihitung dengan rumus:

           Maka a= 9.26
 

           Sehingga
                   Y = 9.26 - 0.26 X1 + 1.1868 X2                          
ii)           Matriks
 



Matriks di atas di inverskan
 



Sehingga diperoleh


Lalu dikalikan hasil invers diatas dengan X’Y


Menghasilkan
 



Y = 9.26 -0.26 X1 + 1.19 X2
Rounded Rectangle: Y = 9.26 -0.26 X1 + 1.19 X2Dari matriks tersebut, maka diperoleh:
               
           Untuk data tersebut, KTG = 0.017 maka:
 



          
Sehingga
1.     Untuk uji H0:bo = 0; H1:b1 ¹ 0;
t =
2.     Untuk H1:b = 0 ; H2: b ¹ 0,
t =
3.     Untuk H2: b = 0 ; H3: b ¹ 0,
t =
Dengan t0.025;17 = 2.110  maka dapat disimpulkan untuk ketiga uji masing-masing adalah tolak Ho
2.       Tentukan selang kepercayaan 95%bagi Yxt apabila X1 = 5 dan X2 = 14!
Jawab: Selang kepercayaan 95%
 

          = 24.5742 ± (2.110) (0.017) (1+0.3395)
          = 24.5262 atau 24.6222
3.     Untuk data pada soal sebelumnya, buatlah tabel analisa ragam untuk regresi Y dengan dua variabel bebas
 


= 54.668

 









Table analisis ragam untuk regresi Y pada dua peubah bebas X1 dan X2
sumber
Jumlah Kuadrat
Derajat Bebas
Kuadrat Tengah
F hitung
Regresi
54.386
2
27.193
1641.14
Galat
0.282
17
0.017

Total
54.668
19



Adapun F 0.025;17 = 3.59. dengan Fhitung jauh lebih besar dari F table, maka keputusan ujinya adalah tolak Ho.
4.     Tentukan koefisien determinasi untuk model regresi linear Y pada peubah bebas X1 dan X2!
Jawab:
Ø  Persamaan Linear
Persamaan regresi ganda dapat di uji dengan persamaan berikut ini:
 




           Sehingga diperoleh
                   ∑x1y = 41.8
                   ∑x2y = 55
                   ∑y2 = 54.668
Dari data tersebut juga dapat ditentukan nilai koefisien korelasi berganda yaitu dengan rumus:
 

sehingga R= 0.995207434
Ø  Matriks
 

           
                                                       = 0.994235 = 99.42%
5.     Tentukan nilai dari F hitung!
 

= 1765.08
dari data di atas, Ho dan Ha di tolak karena nilai F pada tabel adalah 3.59




Tidak ada komentar:

Poskan Komentar