ANALISA DATA KATAGORIK
11.1 PROPORSI
Andaikan suatu populasi besar dengan dua kategori yang didalamnya ada π bagian katagori tertentu, 1 – π bagian katagori selainnya. Contoh acak berukuran n dari populasi tersebut dapat dipandang sebagai suatu tindakan binom dengan pengulangan n dan peluang sukses π, dan banyaknya sukses dalam contoh tersebut menyebar menurut sebaran binomial
Proporsi contoh dilambangkan dengan p , adalah proporsi banyaknya anggota contoh yang berkatagori sukses dalam n ulangan, p = x/n. Nilai harapan dan ragam proporsi adalah :
Simpangan baku penduga tersebut adalah
11.1.1 Selang Kepercayaan Bagi Proporsi Populasi
Pada kondisi tertentu, sebagai patokan umum yaitu apabila np ≥ 5 dan n(1-p) ≥ 5, maka sebaran normal cukup baik untuk mandekati sebaran binomial, dengan nilai tengah dan simpangan baku :
Nilai tengah,
Sehingga
Selang kepercayaan (1-α) 100% bagi proporsi populasi dengan demikian adalah
Dalam selang kepercayaan pendekatan normal ini ada unsur π yang tidak di ketahui, sementara menduga hal tersebut adalah hal yang ingin kita lakukan. Sebagai pendekatan, maka simpangan baku maksimum, yaitu apabila π = 0,5 dan π (1-π) = 0,25. Selang kepercayaan (1-α) 100% bagi proporsi populasi dengan demikian menjadi
Atau, mengganti π dengan p, sehingga selang kepercayaan (1-α) 100% bagi proporsi populasi menjadi
Contoh soal 1
Dari suatu sampel acak 500 orang diketahui bahwa 160 orang menyukai makan seafood.
Tentukan selang kepercayaan 95 % bagi proporsi populasi yang menyukai Seafood!
Jawab :
Selang kepercayaan 95 % → = 5 % → /2 = 2.5 % → 1 ,96
p = 160/500 = 0.32
1 - p = 0.68
= [0,28 ; 0,36]
Contoh soal 2
Dari suatu contoh di atas (contoh 1), tentukanlah galat dan banyaknya anggota yang dapat diukur menggnakan galat tersebut?
Jawab:
Dari contoh di atas telah di peroleh nilai
0,28< p <0,36
Maka, e atau galatnya adalah
Dengan menggunaka rumus diatas selajutnya dapat ditentuka ukuran contoh yang harus di ambil jika besarnya galat yang dapt diterima pada tingkat kepercayaan 100% selag di tentukan.
Rumus untuk menentuka ukuran contoh adalah :
Besarnya galat yang terjadi tidak akan melebihi e jika ukuran contoh yang diambil adalah sebesar n.
Contoh 3
Suatu pengumpulan pendapat umum dilakukan terhadap penduduk di sebuah kota dan penduduk di sekitar kota tersebut untuk menyelidiki kemungkinan diajukannya rencana pembangunan suatu kompleks gedung serba guna. Bila 2400 diantara 500 pendukuk kota dan 1200 diantara 2000 penduduk sekitar kota tersebut diwawancarai menyetujui rencana tersebut, buat selang kepercayaan 90% bagi selisih proporsi sebenarnya yang menyetujui rencana terebut.
Jawab:
Dari soal diketahui n1=5000 ; n2=2000
X1=2000 ; X2=1200
Dengan demikian,
p1 = 2400/500 =0,48 p2 = 1200/200 = 0,6
(1-p1) = 0,52 (1-p2) = 0,4
Maka selang kepercayaan 90% untuk deba proporsi penduduk kota dengan penduduk sekitar kota yang menyetujui rencana pembangunan kompleks gedung serba guna adalah:
11.1.2 Uji Hipotesis Mengenai Proporsi
Hipotesis nol mengenai proporsi adalah H0 : π = dengan hipotesis tandingan H1 : π ≠ , H1 : π > , atau H1: π = . Dengan pendekatan normal dan simpangan baku diduga dengan , maka uji hipotesis mengenai proporsi populasi adalah seperti tampak pada tabel berikut:
Contoh soal 4
Proporsi daya beli terhadap barang mewah dikota berkisar pada 25 %, karena kondisi perekonomian di pedesaan , proporsi daya beli terhadap barang mewah dihipotesiskan kurang dari 25%. Apabila dari 2632 contoh acak dari pedesaan diketahui bahwa 573 diantaranya mampu membeli barang mewah, ujilah hipotesis mengenai proporsi daya beli masyarakat desa yang dianggap kurang dari 25%!
Jawab :
Diketahui
H0 : π = 0,25 dan H1: π < 0,25
Dengan taraf nyata 5%, Z 0,05 = 1,96
Sehingga berlaku hukum penolakan terhadap H0 jika Z kurang dari -1,96
= -3,976
Karena nilai Z < , maka hasil ujinya adalah “tolak H0” dan kesimpulannya pembeli barang mewah dipedesaan kurang dari 25%.
11.1.3 Uji Hipotesis Mengenai Proporsi melalui Uji Binomial
Pendekatan normal untuk uji hipotesis mengenai proporsi baik untuk ukuran contoh yang besar. Untuk ukuran contoh kecil, uji binomial lebih disukai karena dianggap lebih dekat dengan fenomena yang di bicarakan.
Jika H0 : π benar, maka banyaknya “sukses” yaitu munculnya contoh katagori tertentu pada n ulangan penarikan, X, akan bersebaran binomial
Contoh soal 5
Kepedulian masyarakat disuatu kota terhadap dampak pemanasan global di perkirakan telah meningkat pada lima tahun terakhir karena adanya upaya pembinaan dari pemerintah, sebelumnya diketahui tingkat kepedulian kurang dari 30%, dan lima tahun terakhir ini meningkat lebih dari 40%. Apabila dari hasil survei diketahui bahwa 6 dari 12 penduduk mengikuti perkumpulan pencinta lingkungan, apakah pengakuan tersebut dapat di terima?
Jawab :
Diketahui
Dalam hal ini hipotesis yang diuji adalah H0 : π = 0,40 dan H1 : π > 0,40
Dari tabel binomial diketahui bahwa
Sedangkan
Jadi untuk taraf nyata 5% (α = 0,05), kaidah keputusannya adalah “tolak H0 apabila X lebih dari 8”.
Hasil survey menunjukkan X = 6 sehingga keputusan ujinya adalah tidak tolak H0. Berdasarkan uji ini, pengakuan bahwa “keikutsertaan petani pada kelompok tani lebih dari 40% belum dapat diterima, atau masih diragukan.
Catatan :
Dengan batas kritis 8, uji ini sebenarnya menggunakan taraf nyata 1,53% (1 - 0,9847 = 0,0153). Apabila batas kriteria 7, uji tersebut akan memiliki taraf nyata 5,73% (1 – 0,9427 = 0,0573), malampaui angka kesalahan yang ditenggang α = 0,05
Tidak ada komentar:
Posting Komentar