Minggu, 11 Desember 2011

ANALISIS RAGAM


I. PENDAHULUAN
Dalam bab sebelumnya telah dijelaskan uji kesamaan nilai-tengah antara dua peubah acak yang dapat dilakukan dengan uji T dan uji Z. Tapi, dalam banyak kasus kita sering berhadapan dengan persoalan yang melibatkan lebih dari dua nilai tengah. Misalnya kita ingin melakukan pengujian nilai tengah terhadap tiga varietas padi yang berbeda. Itu berarti kita memerlukan tiga uji pembanding, yaitu µ1- µ2, µ2- µ3, dan µ1- µ3. Jika ada p nilai tengah, berarti ada Cp2 perbandingan. Cara ini dipandang kurang efisien sehingga dibuatlah cara pembandingan nilai tengah yang baru yang disebut Analisis Ragam.

II. HIPOTESIS UJI
Andaikan ada p populasi, masing-masing memiliki nilai tengah µ1, µ2, µ3, ….., µp.
Hipotesis yang diuji dalam analisis ragam adalah
            H0: µ1= µ1=…….= µp. (semua nilai tengah tersebut nilainya sama)
Hipotesis tandingannya adalah
            H1: µi ≠ µj, untuk i≠ j; Ada sekurang-kurangnya sepasang nilai-tengah µi dan µj yang tidak sama.

III. Penguraian Jumlah Kuadrat Simpangan
Data dengan identitas populasi dengan masing-masing ukuran contoh ni dapat dicatat Xij, i adalah indeks populasi dengan i dari 1 sampai p dan j adalah indeks contoh untuk masing-masing poulasi dengan j dari 1 sampai dengan n. Kemudian katakanlah Ỹi  rataan dari populasi I dan Ỹ rataan dari seluruh populasi atau rataan umum.
i = (1/ni)∑iYij dengan j = 1, 2, 3, …, n
 Ỹ = (1/∑ini)∑ijYij dengan i = 1, 2, …, p; dan j = 1, 2,…, n
Jumlah kuadrat simpangan data dari nilai tengah data keseluruhan, sebut sebagai jumlah kuadrat total (JKTotal), dapat dituliskan persamaannya sebagai berikut.
JKT        = ∑ij(Y - Ỹi)2
                                                                        = ∑ini(Ỹi - Ỹ )2 + ∑ij(Y - Ỹi )2
Suku pertama pada ruas kiri merupakan jumlah kuadrat simpangan data dari masing-masing rataankelompoknya. Sedangkan suku keduanya menyatakan jumlah kuadrat galat. Ini berarti, jumlah kuadrat total merupakan penjumlahan jumlah kuadrat kelompok dan jumlah kuadrat galat.
Masing-masing suku pada jumlah kuadrat memiliki derajat bebas yaitu derajat bebas total (dbTotal), derajat bebas kelompok (dbKelompok), dan derajat bebas galat (dbGalat). Derajat bebas total merupakan derajat bebas untuk JKTotal, derajat bebas kelompok merupakan derajat bebas untuk JKKelompok, dan derajat bebas galat untuk derajat bebas JKGalat. Sehingga dbTotal merupakan hasil penjumlahan dari derajat bebas kelompok dan derajat bebas galat.
Persamaan derajat bebas sebagai berikut:
dbTotal= (∑i - ni)– 1
              = (p – 1) + ∑i(ni – 1)

IV. UJI NISBAH RAGAM
            Jika masing-masing peubah acak bersebaran normal, Xij n(µiσi), dengan JKTotal = JKKelompok + JKGalat yang diikuti dengan dbTotal = dbKelompok + dbGalat. Uji nisbah ragam dilambangkan dengan F. Fhitung merupakan uji nisbah yang akan dihitung dan dibandingkan dengan F peubah (Fα(p-1.∑i(ni-1))).
            Kriteria uji, akan  menolak H0 apabila FHitung yang telah dihitung lebih besar dari F peubah Fα(p-1.∑i(ni-1)) yang didapat dari table F.







V. CONTOH SOAL
Berikut ini adalah data hasil percobaan pengaruh katalis terhadap konsentrasi larutan pada suatu reaksi kimia (data dari Montgomery 1991)
                        Katalis 1:         58.2, 57.2, 58.4, 55.8, 54.9
                        Katalis 2:         56.2, 54.5, 57.0, 55.3
                        Katalis 3:         50.1, 54.2, 55.4
                        Katalis 4:         52.9, 49.9, 50.0, 51.7
Tentukanlah:
1)      Ỹ rataan dari tiap populasi
2)      Ỹ rataan keseluruhan
3)      JKKatalis
4)      JKGalat
5)      JKTotal
6)      dbKatalis
7)      dbGalat
8)      dbTotal
9)      Fhitung
10)  Keputusan ujinya






Jawaban:
1). Ỹ rataan dari tiap populasi
                        i = (1/ni)∑iYij
Ỹ1 = (1/5)(58.2 + 57.2 + 58.4 + 55.8 + 54.9) = 56.9
Ỹ2 = (1/4)(56.2 + 54.5 + 57.0 + 55.3) = 55.75
Ỹ3 = (1/3)(50.1 + 54.2 + 55.4) = 53.23
Ỹ4 = (1/4)(52.9 + 49.9 + 50.0 + 51.7) = 51.125

2). Ỹ rataan keseluruhan
                                    Ỹ = (1/∑ini)∑ijYij
Ỹ = (1/16)(58.2 + 57.2 + 58.4 + 55.8 + 54.9 + 56.2 + 54.5 + 57.0 + 55.3 +
      50.1 + 54.2 + 55.4 + 52.9 + 49.9 + 50.0 + 51.7)
                                    = 54.481

3). JKK = ∑ini(Ỹi - Ỹ )2
JKK        = 5(56.9 - 54.481)2 + (55.75 - 54.481)2 + 3(53.23 - 54.481)2 + 4(51.125 - 54.481)2
= 85.42
4). JKGalat
                                    JKG= ∑i∑j(Y - Ỹi )2
JKG = (58.2 – 56.9)2 + (57.2 – 56.9)2 + (58.4 – 56.9)2 + (584.9 – 56.9)2 +
            (56.2 – 55.75)2 +  (54.5 – 55.75)2 +  (57.0 – 55.75)2 +  (55.3 – 55.75)2 +
             (50.1 – 53.23)2 + (54.2 – 53.23)2 + (55.4 – 53.23)2 +
             (52.9 – 51.125)2 + (49.9 – 51.125)2 + (50.0 – 51.125)2 + (51.7 – 51.125)2
            = 34.46
5). JKTotal
            JKT = JKK + JKG
                        = 85.42 + 34.46
                        = 119.88
6). dbKatalis
dbK=    p – 1 = 4 – 1 = 3
7). dbGalat
dbG   = ∑i(ni – 1)
                        = 4(4 – 1)
                        = 12
8) dbTotal
dbT = dbK + dbG
                 = 3 + 12
                 = 15
9). FHitung = (85.42/3) / ( 34.46/12)
            = = 9.91
F0.05(3.12) = 3.49 (dari tabel F)

10). FHitung > F0.05(3.12),  jadi keputusan ujinya adalah tolak H0 pada taraf nyata 0.05 dan disimpulkan bahwa nilai tengah konsentrasi larutan pada keempat maccam katalis tersebut tidaklah sama semuanya.

 

  Tabel Analisis Ragam


Hasil analisis ragam biasanya disajikan dalam bentuk Tabel Analisis Ragam yang menampilkan , sumber keragaman,jumlah kuadrat,derajat bebas,kuadrat tengah dan Fhitung. Tabel ini sering disebut tabel Anova yang diambil dari asal katanya yaitu   Analisis of Variant (analisis ragam). Kuadrat tengah adalah jumlah kuadrat dibagi derajat bebas. Nilai Fhitung dapat dibandingkan denan Fp-1, Σi (ni – 1) jika ia lebih dari Fp-1, Σi (ni – 1) maka H0 : μ1 = μ2 = μ3= .... = μp tertolak pada taraf nyata α. Output  biasanya menampilkan  nilai-p pengujiannya, yang dapat dibandingkan dengan α, dan nilai-p yang kecil dibandingkan dengan α menunjukkan ketertolakan H0. Tabel 9-1 menampilkan tabel analisis ragam klasifikasi satu arah.

Tabel 9-1 Analisis Ragam Klasifuikasi Satu Arah

Sumber ragaman
Jumlah kuadrat
Derajat bebas
Kuadarat tengah
Fhitung
Kelompok

Galat
JKK

JKG
dbK

dbG
KTT = JKK/dbK

KTG = JKK/dbK

KTK/KTG
 Total
JKT
dbT












Contoh 1

Berikut ini adalah data hasil percobaan pengaruh katalis terhadap konsentrasi larutan pada suatu reaksi kimia ( data dari Montgomery, 1991 )

Katalis 1 : 58.2, 57.2, 58.4, 55.8, 54.9

Katalis 2 : 56.2, 54.5, 57.0, 55.3

Katalis 3 : 50.1, 54.5, 55.4

Katalis 4 : 52.9, 49.9, 50.0, 51.7

Buatlah tabel analisis ragam untuk percobaan di atas !



Penyelesaian :




JKTotal            = (58.2 - 54.485)2 + (57.2 - 54.485)2 + (50.0 - 54.485)2 + (51.7 -   54.485)2     =  119.88

JKKatalis         = 5(56.9 - 54.485)2 + 4(55.75 - 54.485)2 + 3(53.3 -54.485)2 + 4(51.125   - 54.485)2  = 85.42

JKGalat           = (58.2 – 56.9)2 + (57.2 – 56.9)2 + (50.0 – 51.125)2 + (51.7 – 
                           51.125)2   =  34.46
dBTotal  = 15 ; dBKatalis = 3 ; dBGalat = 12

Tabel Analisis Ragam pada Percobaan Katalis

Sumber ragaman
Jumlah kuadrat
Derajat bebas
Kuadarat tengah
Fhitung
Katalis

Galat
85.42

34.46
3

12
28.47

2.87

9.91
 Total
119.88
15


           Contoh 2

Sebuah penelitian dilakukan untuk mengetahui apakah ada pengaruh perbedaan metode kerja terhadap tingkat produktivitas. Ada tiga metode kerja yang akan diuji. Diambil sampel masing-masing 5 orang karyawan untuk mengerjakan pekerjaan, lalu dicatat waktu yang digunakan (menit) sebagai berikut :

Metode 1 (menit)
Metode 2 (menit)
Metode 3 (menit)
21
27
29
23
25
17
25
20
15
23
31
28
22
30
24
Buatlah tabel analisis ragam untuk penelitian di atas !

Penyelesaian :

Metode 1 (menit)
Metode 2 (menit)
Metode 3 (menit)
21
27
29
23
25
17
25
20
15
23
31
28
22
30
24
T1 = 125
T2 = 100
T3  = 135
Dari tabel di atas bisa dihitung  Total keseluruhan nilai = 360

JKK     =   130
JKG     =  289
JKT     = 168
Tabel Anailis Ragam Penelitian Pengaruh Perbedaan Analisis Ragam

Sumber ragaman
Jumlah kuadrat
Derajat bebas
Kuadarat tengah
Fhitung
Kelompok

Galat
130

168
2

12
65

14

4.64
 Total
298
14


            Sumber Keragaman Sebagai Faktor

 

Sumber ragam yang ditampilkan dalam tabel analisis ragam secara umum dikenal sebagai faktor (dalam hal ini ada faktor kelompok dan faktor galat), sedangkan peubah pengukuran yang nilai tengahnya diperbandingkan (yij) dinamakan peubah respon. Keadaan-keadaan faktor nol yang berbeda ; i = 1, 2, ... p ; masing-masing disebut taraf faktor. Hipotesis nol yang menyatakan kesamaan nilai tengah, dalam hal ini dipandang sebagai pernyataan mengenai tidak adanya pengaruh perbedaan taraf faktor terhadap peubah respon, dan hipotesis tandingannya sebagai pernyataan mengenai adanya pengaruh peerbedaan taraf faktor terhadap peubah respon. Perbedaaan nnilai tengah respon dalam hal ini dianggap disebabkan oleh adanya perbedaan taraf fakor.

Faktor yang dipertimbangkan dalam suatu analisis ragam dapat berupa atribut pengamatan yang mengacu pada pengelompokkan  pengamatan, dapat pula berupa perlakuan yang diberikan secara sengaja.

            Contoh 3

Varietas misalnya pada contoh 1  adalah faktor pengamatan yang mengacu pada pengelompokkan  pengamatan yang meliputi p taraf  faktor, masing-masing kelompok dengan nilai tengah μi. .

                       Contoh 4

Dalam kasus lain faktor ini bisa dibuat secara sengaja, misalnya takaran pupuk yang diberikan secara berbeda-beda dalam suatu percobaan pemupukan . Masing-masing tanaman yang diberi taraf perlakuan pupuk berbeda di sini dipandang sebagai suatu contoh acak dari populasi yang berlainan. Analisis ragam terhadap kesamaan nilai tengah populasi tanaman yang masing-masing mendapatkan takaran pupuk tertentu yang kemudian ditafsirkan sebagai uji atas pengaruh perbedaan taraf faktor terhadap peubah respon.

            Model Liniar Analisis Ragam


Uji nisbah ragam seprti yang dijelaskan tadi, yang menggunakan kriteria uji berdasarkan peubah Fhitung, dilandasi suatu model linear yang menyatakan hubungan antara nilai-nilai pengamatan dengan pengaruh faktor. Apabila  xij adalah nilai peubah respon pada taraf faktor ke-i ulangan ke-j, μ adalah nilai tengah atau nilai harapan peubah respon, τi  adalah besarnya simpangan pengamatan karena pengaruh faktor pada taraf i, dan ɛij adalah besarnya simpangan pengamatan karena factor galat pada taraf factor ke-I ulangan ke-j, maka model linear yang kita gunakan adalah :
xij = μ + τi + ɛij
sementara itu jumlah pengaruh perlakuan dapat dianggap nol, Σi τi  dan ɛij dianggap bersebaran normal dengan nilai tengah 0 dan simpangan baku σ, ɛij = N(0, σ). Dengan model ini maka nilai harapan kuadrat tengah untuk masing-masing sumber keragaman dapat diperoleh yaitu :


Kembali pada hipotesis ynga diuji dalam analisis ragam, dengan menyatakan μi = μ + τi,  hipotesis nol yang menyatakan kesamaan nilai tengah

H0 : μ1 = μ2 = μ3= .... = μp

Dapat pula dipandang sebagai pernyataan mengenai tidak adanya pengaruh faktor :

H0 : τ1 = τ2 = τ3 = .... = τp = 0

Dengan demikian, jika H0 benar maka Σi Σj τi2 = 0, dan


Yang besar, yaitu melampaui Fα(p-1, Σi(ni-1) ), mengindikasikan adanya τi yang tidak sama dengan nol sehingga menyebabkan Σi Σj τi2 cenderung besar. Hal ini mengindikasikan tertolaknya H0 dan diterimanya hipotesis tandingannya,



yang setara dengan 


           Koefisin Determinasi


Untuk model linear yang dipasang dalam analisis ragam, koefisien determinasi dilambangkan dengan R2,

R2 = (1- JKGalat/JKTotal)x100%


Koefisien determinasi menunjukkan persentase keragaman data yang dapat dijelaskan oleh model. Nilai R2  adalah antara 0 – 100%, nilai R2 yang besar menunjukkan kaitan yang erat antara data dengan modelnya.

            Contoh 5

Berapa koefesien determinasi R2 untuk Tabel Analisis Ragam untuk data pada contoh soal 1 ?
Penyelesaian :
R2 = (1- JKGalat/JKTotal)x100%
      = (1- 34.46/119.88) x 100%
      = 71.25 %

            Contoh 6

Berapa koefesien determinasi R2 untuk Tabel Analisis Ragam untuk data pada contoh soal 2 ?
Penyelesaian :
                   R2 = (1- JKGalat/JKTotal)x100%
      = (1- 168/298) x 100%
      =  43.624 %

Tidak ada komentar:

Poskan Komentar