ANALISIS RAGAM

I. PENDAHULUAN

Dalam bab sebelumnya telah dijelaskan uji kesamaan nilai-tengah antara dua peubah acak yang dapat dilakukan dengan uji T dan uji Z. Tapi, dalam banyak kasus kita sering berhadapan dengan persoalan yang melibatkan lebih dari dua nilai tengah. Misalnya kita ingin melakukan pengujian nilai tengah terhadap tiga varietas padi yang berbeda. Itu berarti kita memerlukan tiga uji pembanding, yaitu µ₁- µ₂, µ₂- µ₃, dan µ₁- µ₃. Jika ada p nilai tengah, berarti ada C^p₂ perbandingan. Cara ini dipandang kurang efisien sehingga dibuatlah cara pembandingan nilai tengah yang baru yang disebut Analisis Ragam.

II. HIPOTESIS UJI

Andaikan ada p populasi, masing-masing memiliki nilai tengah µ₁, µ₂, µ₃, ….., µ_p.

Hipotesis yang diuji dalam analisis ragam adalah

            H₀: µ₁= µ₁=…….= µ_p. (semua nilai tengah tersebut nilainya sama)

Hipotesis tandingannya adalah

            H₁: µ_i ≠ µ_j, untuk i≠ j_; Ada sekurang-kurangnya sepasang nilai-tengah µ_i dan µ_j yang tidak sama.

III. Penguraian Jumlah Kuadrat Simpangan

Data dengan identitas populasi dengan masing-masing ukuran contoh n_i dapat dicatat X_ij, i adalah indeks populasi dengan i dari 1 sampai p dan j adalah indeks contoh untuk masing-masing poulasi dengan j dari 1 sampai dengan n. Kemudian katakanlah Ỹ_i  rataan dari populasi I dan Ỹ rataan dari seluruh populasi atau rataan umum.

Ỹ_i = (1/n_i)∑_iY_ij dengan j = 1, 2, 3, …, n

 Ỹ = (1/∑_in_i)∑_i∑_jY_ij dengan i = 1, 2, …, p; dan j = 1, 2,…, n

Jumlah kuadrat simpangan data dari nilai tengah data keseluruhan, sebut sebagai jumlah kuadrat total (JKTotal), dapat dituliskan persamaannya sebagai berikut.

JKT        = ∑_i∑_j(Y - Ỹ_i)²

                                                                        ^{= ∑}_iⁿ_i^(Ỹ_i ^{- Ỹ )2} + ∑_i∑_j(Y - Ỹ_i )²

Suku pertama pada ruas kiri merupakan jumlah kuadrat simpangan data dari masing-masing rataankelompoknya. Sedangkan suku keduanya menyatakan jumlah kuadrat galat. Ini berarti, jumlah kuadrat total merupakan penjumlahan jumlah kuadrat kelompok dan jumlah kuadrat galat.

Masing-masing suku pada jumlah kuadrat memiliki derajat bebas yaitu derajat bebas total (dbTotal), derajat bebas kelompok (dbKelompok), dan derajat bebas galat (dbGalat). Derajat bebas total merupakan derajat bebas untuk JKTotal, derajat bebas kelompok merupakan derajat bebas untuk JKKelompok, dan derajat bebas galat untuk derajat bebas JKGalat. Sehingga dbTotal merupakan hasil penjumlahan dari derajat bebas kelompok dan derajat bebas galat.

Persamaan derajat bebas sebagai berikut:

dbTotal= (∑_i - n_i)– 1

              = (p – 1) + ∑_i(n_i – 1)

IV. UJI NISBAH RAGAM

            Jika masing-masing peubah acak bersebaran normal, X_ij ≈ n(µ_iσ_i), dengan JKTotal = JKKelompok + JKGalat yang diikuti dengan dbTotal = dbKelompok + dbGalat. Uji nisbah ragam dilambangkan dengan F. F_hitung merupakan uji nisbah yang akan dihitung dan dibandingkan dengan F peubah (F_{α(p-1.∑i(ni-1))}).

            Kriteria uji, akan  menolak H0 apabila F_Hitung yang telah dihitung lebih besar dari F peubah F_{α(p-1.∑i(ni-1))} yang didapat dari table F.

V. CONTOH SOAL

Berikut ini adalah data hasil percobaan pengaruh katalis terhadap konsentrasi larutan pada suatu reaksi kimia (data dari Montgomery 1991)

                        Katalis 1:         58.2, 57.2, 58.4, 55.8, 54.9

                        Katalis 2:         56.2, 54.5, 57.0, 55.3

                        Katalis 3:         50.1, 54.2, 55.4

                        Katalis 4:         52.9, 49.9, 50.0, 51.7

Tentukanlah:

1)      Ỹ rataan dari tiap populasi

2)      Ỹ rataan keseluruhan

3)      JKKatalis

4)      JKGalat

5)      JKTotal

6)      dbKatalis

7)      dbGalat

8)      dbTotal

9)      F_hitung

10)  Keputusan ujinya

Jawaban:

1). Ỹ rataan dari tiap populasi

                        Ỹ_i = (1/n_i)∑_iY_ij

Ỹ1 = (1/5)(58.2 + 57.2 + 58.4 + 55.8 + 54.9) = 56.9

Ỹ2 = (1/4)(56.2 + 54.5 + 57.0 + 55.3) = 55.75

Ỹ3 = (1/3)(50.1 + 54.2 + 55.4) = 53.23

Ỹ4 = (1/4)(52.9 + 49.9 + 50.0 + 51.7) = 51.125

2). Ỹ rataan keseluruhan

                                    Ỹ = (1/∑_in_i)∑_i∑_jY_ij

Ỹ = (1/16)(58.2 + 57.2 + 58.4 + 55.8 + 54.9 + 56.2 + 54.5 + 57.0 + 55.3 +

      50.1 + 54.2 + 55.4 + 52.9 + 49.9 + 50.0 + 51.7)

                                    = 54.481

3). JKK = ∑_in_i(Ỹ_i - Ỹ )²

JKK        = 5(56.9 - 54.481⁾² + (55.75 - 54.481⁾² + 3(53.23 - 54.481⁾² + 4(51.125 - 54.481⁾²

= 85.42

4). JKGalat

                                    JKG= ∑i∑j(Y - Ỹi )2

JKG = (58.2 – 56.9)2 + (57.2 – 56.9)2 + (58.4 – 56.9)2 + (584.9 – 56.9)2 +

            (56.2 – 55.75)2 +  (54.5 – 55.75)2 +  (57.0 – 55.75)2 +  (55.3 – 55.75)2 +

             (50.1 – 53.23)2 + (54.2 – 53.23)2 + (55.4 – 53.23)2 +

             (52.9 – 51.125)2 + (49.9 – 51.125)2 + (50.0 – 51.125)2 + (51.7 – 51.125)2

            = 34.46

5). JKTotal

            JKT = JKK + JKG

                        = 85.42 + 34.46

                        = 119.88

6). dbKatalis

dbK=    p – 1 = 4 – 1 = 3

7). dbGalat

dbG   = ∑_i(n_i – 1)

                        = 4(4 – 1)

                        = 12

8) dbTotal

dbT = dbK + dbG

                 = 3 + 12

                 = 15

9). F_Hitung = (85.42/3) / ( 34.46/12)

            = = 9.91

F_0.05(3.12) = 3.49 (dari tabel F)

10). F_Hitung > F_0.05(3.12),  jadi keputusan ujinya adalah tolak H0 pada taraf nyata 0.05 dan disimpulkan bahwa nilai tengah konsentrasi larutan pada keempat maccam katalis tersebut tidaklah sama semuanya.

 

  Tabel Analisis Ragam

Hasil analisis ragam biasanya disajikan dalam bentuk Tabel Analisis Ragam yang menampilkan , sumber keragaman,jumlah kuadrat,derajat bebas,kuadrat tengah dan Fhitung. Tabel ini sering disebut tabel Anova yang diambil dari asal katanya yaitu   Analisis of Variant (analisis ragam). Kuadrat tengah adalah jumlah kuadrat dibagi derajat bebas. Nilai Fhitung dapat dibandingkan denan F_p-1, _{Σi (}n_{i – 1)} jika ia lebih dari F_p-1, _{Σi (}n_{i – 1)} maka H₀ : μ₁ = μ₂ = μ₃= .... = μ_p tertolak pada taraf nyata α. Output  biasanya menampilkan  nilai-p pengujiannya, yang dapat dibandingkan dengan α, dan nilai-p yang kecil dibandingkan dengan α menunjukkan ketertolakan H₀. Tabel 9-1 menampilkan tabel analisis ragam klasifikasi satu arah.

Tabel 9-1 Analisis Ragam Klasifuikasi Satu Arah

Sumber ragaman	Jumlah kuadrat	Derajat bebas	Kuadarat tengah	Fhitung
Kelompok Galat	JKK JKG	dbK dbG	KTT = JKK/dbK KTG = JKK/dbK	KTK/KTG
Total	JKT	dbT

Contoh 1

Berikut ini adalah data hasil percobaan pengaruh katalis terhadap konsentrasi larutan pada suatu reaksi kimia ( data dari Montgomery, 1991 )

Katalis 1 : 58.2, 57.2, 58.4, 55.8, 54.9

Katalis 2 : 56.2, 54.5, 57.0, 55.3

Katalis 3 : 50.1, 54.5, 55.4

Katalis 4 : 52.9, 49.9, 50.0, 51.7

Buatlah tabel analisis ragam untuk percobaan di atas !

Penyelesaian :

JKTotal            = (58.2 - 54.485)² + (57.2 - 54.485)² + (50.0 - 54.485)² + (51.7 -   54.485)²     =  119.88

JKKatalis         = 5(56.9 - 54.485)² + 4(55.75 - 54.485)² + 3(53.3 -54.485)² + 4(51.125   - 54.485)²  = 85.42

JKGalat           = (58.2 – 56.9)² + (57.2 – 56.9)² + (50.0 – 51.125)² + (51.7 – 
                           51.125)²   =  34.46

dBTotal  = 15 ; dBKatalis = 3 ; dBGalat = 12

Tabel Analisis Ragam pada Percobaan Katalis

Sumber ragaman	Jumlah kuadrat	Derajat bebas	Kuadarat tengah	Fhitung
Katalis Galat	85.42 34.46	3 12	28.47 2.87	9.91
Total	119.88	15

           Contoh 2

Sebuah penelitian dilakukan untuk mengetahui apakah ada pengaruh perbedaan metode kerja terhadap tingkat produktivitas. Ada tiga metode kerja yang akan diuji. Diambil sampel masing-masing 5 orang karyawan untuk mengerjakan pekerjaan, lalu dicatat waktu yang digunakan (menit) sebagai berikut :

Metode 1 (menit)	Metode 2 (menit)	Metode 3 (menit)
21 27 29 23 25	17 25 20 15 23	31 28 22 30 24

Buatlah tabel analisis ragam untuk penelitian di atas !

Penyelesaian :

Metode 1 (menit)	Metode 2 (menit)	Metode 3 (menit)
21 27 29 23 25	17 25 20 15 23	31 28 22 30 24
T1 = 125	T2 = 100	T3  = 135

Dari tabel di atas bisa dihitung  Total keseluruhan nilai = 360

JKK     =   130

JKG     =  289

JKT     = 168

Tabel Anailis Ragam Penelitian Pengaruh Perbedaan Analisis Ragam

Sumber ragaman	Jumlah kuadrat	Derajat bebas	Kuadarat tengah	Fhitung
Kelompok Galat	130 168	2 12	65 14	4.64
Total	298	14

            Sumber Keragaman Sebagai Faktor

 

Sumber ragam yang ditampilkan dalam tabel analisis ragam secara umum dikenal sebagai faktor (dalam hal ini ada faktor kelompok dan faktor galat), sedangkan peubah pengukuran yang nilai tengahnya diperbandingkan (y_ij) dinamakan peubah respon. Keadaan-keadaan faktor nol yang berbeda ; i = 1, 2, ... p ; masing-masing disebut taraf faktor. Hipotesis nol yang menyatakan kesamaan nilai tengah, dalam hal ini dipandang sebagai pernyataan mengenai tidak adanya pengaruh perbedaan taraf faktor terhadap peubah respon, dan hipotesis tandingannya sebagai pernyataan mengenai adanya pengaruh peerbedaan taraf faktor terhadap peubah respon. Perbedaaan nnilai tengah respon dalam hal ini dianggap disebabkan oleh adanya perbedaan taraf fakor.

Faktor yang dipertimbangkan dalam suatu analisis ragam dapat berupa atribut pengamatan yang mengacu pada pengelompokkan  pengamatan, dapat pula berupa perlakuan yang diberikan secara sengaja.

            Contoh 3

Varietas misalnya pada contoh 1  adalah faktor pengamatan yang mengacu pada pengelompokkan  pengamatan yang meliputi p taraf  faktor, masing-masing kelompok dengan nilai tengah μ_i. .

                       Contoh 4

Dalam kasus lain faktor ini bisa dibuat secara sengaja, misalnya takaran pupuk yang diberikan secara berbeda-beda dalam suatu percobaan pemupukan . Masing-masing tanaman yang diberi taraf perlakuan pupuk berbeda di sini dipandang sebagai suatu contoh acak dari populasi yang berlainan. Analisis ragam terhadap kesamaan nilai tengah populasi tanaman yang masing-masing mendapatkan takaran pupuk tertentu yang kemudian ditafsirkan sebagai uji atas pengaruh perbedaan taraf faktor terhadap peubah respon.

            Model Liniar Analisis Ragam

Uji nisbah ragam seprti yang dijelaskan tadi, yang menggunakan kriteria uji berdasarkan peubah Fhitung, dilandasi suatu model linear yang menyatakan hubungan antara nilai-nilai pengamatan dengan pengaruh faktor. Apabila  x_ij adalah nilai peubah respon pada taraf faktor ke-i ulangan ke-j, μ adalah nilai tengah atau nilai harapan peubah respon, τ_i  adalah besarnya simpangan pengamatan karena pengaruh faktor pada taraf i, dan ɛ_ij adalah besarnya simpangan pengamatan karena factor galat pada taraf factor ke-I ulangan ke-j, maka model linear yang kita gunakan adalah :

x_{ij =} μ + τ_i + ɛ_ij

sementara itu jumlah pengaruh perlakuan dapat dianggap nol, Σ_i τ_i  dan ɛ_ij dianggap bersebaran normal dengan nilai tengah 0 dan simpangan baku σ, ɛ_ij = N(0, σ). Dengan model ini maka nilai harapan kuadrat tengah untuk masing-masing sumber keragaman dapat diperoleh yaitu :

Kembali pada hipotesis ynga diuji dalam analisis ragam, dengan menyatakan μ_i = μ + τ_i,  hipotesis nol yang menyatakan kesamaan nilai tengah

H₀ : μ₁ = μ₂ = μ₃= .... = μ_p

Dapat pula dipandang sebagai pernyataan mengenai tidak adanya pengaruh faktor :

H₀ : τ₁ = τ₂ = τ₃ = .... = τ_p = 0

Dengan demikian, jika H₀ benar maka Σ_i Σ_j τ_i² = 0, dan

Yang besar, yaitu melampaui F_{α(p-1, Σi(ni-1) ),} mengindikasikan adanya τ_i yang tidak sama dengan nol sehingga menyebabkan Σ_i Σ_j τ_i² cenderung besar. Hal ini mengindikasikan tertolaknya H₀ dan diterimanya hipotesis tandingannya,

yang setara dengan 

           Koefisin Determinasi

Untuk model linear yang dipasang dalam analisis ragam, koefisien determinasi dilambangkan dengan R²,

R² = (1- JKGalat/JKTotal)x100%

Koefisien determinasi menunjukkan persentase keragaman data yang dapat dijelaskan oleh model. Nilai R²  adalah antara 0 – 100%, nilai R2 yang besar menunjukkan kaitan yang erat antara data dengan modelnya.

            Contoh 5

Berapa koefesien determinasi R² untuk Tabel Analisis Ragam untuk data pada contoh soal 1 ?

Penyelesaian :

R² = (1- JKGalat/JKTotal)x100%

      = (1- 34.46/119.88) x 100%

      = 71.25 %

            Contoh 6

Berapa koefesien determinasi R² untuk Tabel Analisis Ragam untuk data pada contoh soal 2 ?

Penyelesaian :

                   R² = (1- JKGalat/JKTotal)x100%

      = (1- 168/298) x 100%

      =  43.624 %