BAB 11 Analisis Data Katagorik (B)

BAB 11

Analisis Data Katagorik (B)

2. Keterkaitan Antara Dua Peubah Katagorik

Andaikan contoh berukuran n. Pada masing–masing pengamatan tersebut dicatat dua peubah kategorik P dan Q. Peubah P meliputi p macam nilai, yaitu P₁,P₂,P₃,...,P_p, dan peubah Q mempunyai q macam nilai, yaitu Q₁,Q₂,Q₃,...,Q_q. Tabel kontingensi dua arah pxq menampilkan banyaknya pengamatan yang termasuk dalam silang peubah kategorik, n_ij (tabel 1).

Tabel 1. Tabel kontingensi dua arah p x q

P	Q				Total
	Q1	Q2	...	Qq
P1	n11	n12	...	n1q	n1.
P2	n21	n22	...	n2q	n2.
...	...	...	...	...	...
Pp	np1	np2	...	npq	np.
Total	n.1	n.2	...	n.q	N

Apabila katagori P dan katagori Q saling bebas maka peluang suatu pengamatan termasuk pada sel P_pQ_q, sebut saja π_pq adalah :

Untuk pengamatan sebanyak n, peluang masing masing nilai katagori P dan Q adalah

Sehingga peluang bahwa suatu pengamatan termasuk pada suatu katagori P dan Q adalah

Selanjutnya, frekuensi harapan pada sel P_pQ_q, yaitu banyaknya pengamatan yang termasuk pada sel P_pQ_q seandainya P dan Q saling bebas, adalah :

Banyaknya pengamatan yang senyatanya diperoleh dari contoh, n_ij, selanjutnya dinamakan frekuensi pengamatan.

2.1 Uji Khi-kuadrat

Jika P dan Q saling bebas, nilai Khi-kuadrat untuk tabel kontingensi pxq untuk banyak pengamatan yang termasuk pada katagori silang P dan Q adalah :

Menyebar menurut sebaran khi-kuadrat berderajat bebas v = (p-1)(q-1). Dengan demikian, untuk uji dengan taraf nyata α atas hipotesis

H0: P dan Q saling bebas

H1: P dan Q tidak saling bebas

Adalah

“tolak H0 apabila x² lebih dari atau sama dengan x² α,(p-1)(q-1)”.

x² _{α,(p-1)(q-1)} adalah angka khi-kuadrat berderajat bebas v = (p-1)(q-1) sedemikian sehingga

P (x² > x² _{α,(p-1)(q-1)}) = α

Uji Khi-kuadrat ini dikenal pula sebagai uji kebaikan pengepasan (goodness of fit test). Perhatikan bahwa statistik uji untuk uji ini menghitung jumlah kuadrat selisih antara frekuensi harapan dengan frekuensi pengamatan; jika frekuensi pengamatan dan frekuensi harapan pada setiap sel pada tabel kontingensi tersebut akan bernilai sama sehingga nilai untuk tabel tersebut adalah nol. Nilai x² yang kecil menunjukan kesesuaian yang tinggi antara frekuensi pengamatan dengan frekuensi harapan, dan semakin besar nilai x² menunjukan ketaksesuaian antara frekuensi pengamatan dengan frekuensi harapan, yang berarti tertolaknyya H0.

Contoh 1

Tabel berikut menyajikan tabel kontingensi antara kebiasaan merokok pada malam hari dan kejadian serangan kanker paruu-paru dari 56 orang perokok berat. Dihipotesiskan bahwa serangan kanker paru-paru berkaitan dengan kebiasaan merokok pada malam hari.

Kanker paru –paru	Kebiasaan merokok malam hari		Total
	ya	Tidak
Ya	20	16	36
Tidak	6	14	20
Total	26	30	56

Berdasarkan data tersebut, apakah hipotesis tersebut dapat diterima?

Jawab :

Tabel berikut menyajikan frekuensi harapan katagori kebiasaan merokok malam dan serangan kanker paru-paru apabila keduanya saling bebas.

Merokok malam hari	Mengalami kanker paru-paru		Total
	Ya	Tidak
Ya	16.7143	19.2857	36
Tidak	9.2857	10.7143	20
Total	26	30	56

Dengan demikian

  = 3.376

X²_0.05,1 = 3.841 (tabel chi-kuadrat)

Karena X² tidak lebih besar dari X²_0.05,1, maka keputusan ujinya adalah “tidak tolak H0”. Berdasarkan uji ini, belum dapat disimpulkan mengenai adanya keterkaitan antara kebiasaan-kebiasaan merokok pada malam hari dengan serangan kanker paru-paru.

2.2 Tabel Kontingensi 2x2

Peubah katagorik yang hanya meliputi dua kategori dinamakan peubah biner, misalnya terserangnya kanker paru-paru seperti pada contoh 1 (terserang atau tidak), hasil dari suatu tindakan (berhasil atau tidak). Sehubungan dengan peubah biner ini seringkali diperbandingkan antara beberapa kelompok individu; pada contoh 1 misalnya, ingin dibandingkan antara proporsi serangan kanker pada kelompok yang memiliki kebiasaan merokok malam dan yang tidak memiliki kebiasaan tersebut. Jika ada 2 kelompok, sebaran nilai peubah biner ini dapat disajikan pada suatu tabel kontingensi 2x2. Nilai peubah biner dapat dinyatakan sebagai 1 untuk nilai kategori yang satu, dan 2 untuk nilai katagori yang lainnya; misalnya 1 untuk terserang dan 2 untuk tidak terserang, 1 untuk berhasil dan 2 untuk tidak berhasil tabel 2.

Tabel 2.  Tabel 2x2

P	Q		Total
	1	2
1	a = n11	b = n12	a + b = n1.
2	c = n21	d = n22	c + d = n2.
Total	a + c = n.1	b + d = n.2	a + b + c + d = N

Untuk tabel kontingensi 2x2, statistik uji x² dapat dihitung dengan persamaan

Contoh 2

Nilai statistik uji untuk tabel  kontingensi 2x2 pada contoh 1 dapat dihitung dengan persamaan yang lebih sederhana:

2.3 Nilai Q-Yule

Untuk tabel kontingensi 2x2, nilai Q menunjukkan kuatnya keterkaitan. Nilai Q ini dikenal juga sebagai nilai Q-Yule, diajukan oleh Yule (1900; dalam Daniel,1990).

Nilai Q-Yule merentang dari -1 sampai +1, dengan 0 berarti antara kedua katagori saling bebas. Nilai Q-Yule yang semakin dekat dengan -1 atau +1 menunjukkan keterkaitan yang semakin kuat.

Contoh 3

Nilai Q-Yule untuk tabel kontingensi 2x2 pada contoh 1:

2.4 Angka Odds

Untuk individu-individu yang berada pada baris i, nyatakan π_1|j sebagai peluang bahwa individu tersebut terkatagori 1, dan (π_1|j , π_2|j) = (π_1|j, 1 - π_1|j) sebagai sebaran peluang bersyarat peubah biner tersebut. Pembandingan antara kedua baris, baris 1 dengan baris 2, dapat dinyatakan sebagai selisih proporsi katagori 1, π_1|j - π_2|j. Pembandingan proporsi katagori 2 adalah ekivalen, yaitu

Selisih proporsi ini nilainya akan berkisar antara -1 dan +1, bernilai 0 jika baris 1 dan baris 2 identik. Peubah katagorik tersebut dikatakan bebas sehubungan dengan pengelompokan menurut baris jika π_1|j - π_2|j = 0.

Rasio odds. Odds adalah ukuran yang menunjukkan perbandingan peluang munculnya suatu kejadian dengan peluang tidak munculnya kejadian tersebut. Odds suatu kejadian A misalnya dihitung dengan membagi peluang kejadian A dengan peluang kejadian bukan A.

Untuk tabel kontingensi 2x2, Odds katagori 1 pada baris 1 dan baris 2 masing-masing dihitung sebagai

Apabila kedua katagori, baris dan kolom, berupa peubah acak, odds kategori 1 pada baris 1 dan baris 2 masing masing adalah

Selanjutnya, rasio antara odds Ω₁ dan odds Ω₂,

dinamakan rasio odds.

Nilai rasio odds berkisar antara 0 dan ∞. Apabila katagori baris dan katagori kolom saling bebas, maka nilai rasio odds adalah 1. Apabila nilai rasio odds lebih dari 1, 1< θ < ∞., berarti individu-individu pada baris pertama lebih besar kemungkinannya bernilai katagori 1 dari pada baris kedua; yaitu π_1|1 > π_1|2. Apabila rasio odds kurang dari 1, 0 < θ < 1, berarti individu-individu pada baris pertama lebih kecil kemungkinannya bernilai katagori 1 daripada individu-individu pada baris kedua; yaitu π_1|1 < π_1|2. Rasio odds tidak berubah apabila baris dan kolom tabel kontingensi dipertukarkan.

Semakin jauh nilai rasio odds, θ, dari angka 1 pada arah tertentu berarti keterkaitan antara katagori baris dan kolom semakin kuat. Dua nilai rasio odds, θ₁ dan θ_2, menunjukkan tingkat keterkaitan yang sama apabila nilai yang satu merupakan kebalikan dari nilai kedua, θ₁ = 1/ θ₂; θ₁ = 0.25 dan θ₂ = 4.0 misalnya menunjukkan tingkat keterkaitan yang sama. Jika urutan baris atau urutan kolom dipertukarkan, nilai rasio odds yang baru akan sama dengan seper nilai rasio odds yang lama. Jika diambil nilai logaritma dari rasio odds, ln(θ), logaritma rasio odds untuk dua rasio odds yang memiliki tingkat keterkaitan yang sama ini memiliki angka yang sama hanya berbeda tanda; ln(0.25) =  -1.39, ln(4) = 1.39. ln(1) = 0 menunjukkan kebebasan antara katagori baris dan katagori kolom.

Untuk frekuensi contoh, statistik rasio odds dihitung sebagai . Rasio odds contoh ini tidak berubah apabila kedua sel dalam baris dikalikan dengan suatu bilangan tidak nol. Demikian pula apabila kedua sel dalam kolom dikalikan dengan bilangan tak nol. Hal ini menunjukkan sifat invarian atas perkalian, sehinggga rasio odds contoh tetap merupakan penduga bagi parameter θ meskipun contoh yang digunakan tidak proporsional. Untuk percontohan retrospektif untuk keterkaitan antara aplikasi vaksin dengan keterserangan penyakit misalnya, rasio odds tetap merupakan penduga bagi θ, meskipun misalnya untuk keperluan tersebut dipilih masing-masing 100 orang yang mendapat serangan dan tidak mendapat serangan untuk kemudian ditetapkan memakai atau tidak memakai vaksin, atau dipilih 150 pengamatan untuk terserang dan 50 untuk yang tidak terserang. Selanjutnya, rasio odds sama baiknya, baik percontohannya retrospektif, atau prospektif, yaitu dengan memilih 100 yang menggunakan vaksin dan 100 yang tidak menggunakan untuk kemudian diperiksa apakah terserang atau tidak terserang, atau kros seksi, yaitu dengan memilih 200 orang yang kemudian diperiksa apakah ia menggunakan vaksin dan apakah ia terserang penyakit.

Contoh 3

Untuk tabel kontingensi pada contoh 1, odds baris 1, odds baris 2,dan rasio odds baris 1 pada odds baris 2 masing-masing adalah :

Ω₁ = 1.25 menunjukkan bahwa pada kelompok yang merokok malam hari, peluang terserang kanker paru-paru adalah 1.25 kali peluang tidak terserang. Ω₂= 0.43 menunjukkan bahwa kelompok yang tidak merokok dimalam hari, peluang terserang kanker paru-paru adalah 0.43 kali peluang tidak terserang.

Dengan nilai rasio odds θ = Ω₁/ Ω₂  lebih dari 1, menunjukkan bahwa individu-individu yang biasa merokok malam hari lebih besar kemungkinannya bernilai terserang kanker paru-paru daripada individu-individu  yang tidak biasa merokok malam hari.

ln θ = ln (2.92) = 1.072.

 DAFTAR PUSTAKA

Harinaldi. 2005. Prinsip-prinsip Statistik untuk Teknik dan Sains. Jakarta: Erlangga.

Martiningtyas, Nining. 2011. Teori, Soal dan Pembahasan Statistika. Jakarta : Prestasi Pustakaraya

Nugroho, Sigit. 2007. Dasar-Dasar Metode Statistika. Bengkulu: Grasindo

Saefudin, Asep. 2009. Statistika Dasar. Bogor: Grasindo.

Supranto, J. 2008. Statistik: Teori dan Aplikasi Edisi Ketujuh. Jakarta: Erlangga.