BAB III PELUANG

I.          Ruang  contoh dan kejadian

Tindakan berpeluang adalah tindakan yang menimbulkan lebih dari satu macam hasil. Realisasi dari tindakan berpeluang tertentu akan menyebabkan munculnya salah satu dari hasil-hasil yang mungkin terjadi. Masing-masing hasil yang disebabkan oleh tindakan berpeluang dikatakan memliki peluang untuk muncul. Sebagai contoh, melempar koin adalah tindakan tindakan berpeluang yang menimbulkan dua macam hasil, sisi gambar atau sisi angka. Apabila tindakan tersebut dilakukan, salah satu dari dua hasil tersebut akan muncul. Sisi gambar maupun sisi angka berpeluang muncul dari tindakan melempar koin tersebut.

Himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu tindakan berpeluang dinamakan ruang contoh, dilambangkan dengan S. Anggota atau unsur suatu  ruang contoh dinamakan titik contoh. Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang contoh. Untuk tindakan melempar koin  tadi, apabila muncul sisi gambar dilambangkan dengan G dan munculnya sisi angka dengan A, maka ruang contoh dari tindakan tadi adalah.S = {A,G}

A dan G masing-masing adalah titik contoh, sementara { } = Æ, {A}, {G}, dan S = {A,G} masing-masing adalah satu kejadian dari ruang contoh tersebut, dimana Æ adalah kejadian kosong atau tidak terjadi titik contoh satupun    

Contoh 1:

Pada percobaan melempar sebuah dadu berisi enam, tuliskan kejadian-kejadian berikut.

a)      Kejadian munculnya mata dadu lebih dari tiga

b)      Kejadian munculnya mata dadu yang terkecil atau terbesar

c)      Kejadian munculnya mata dadu bilangan ganjil

Jawab:

a)      {4,5,6}

b)      {1,6}

c)      {1,3,5}

II.       Operasi pengolahan pada kejadian

perhatikan bahwa ruang contoh adalah suatu himpuanan, operasi-operasi pengolahan yang berlaku pada himpunan berlaku pula pada ruang contoh. Operasi pengolahan kejadian adalah operasi-operasi pengolahan himpunan yang melibatkan kejadian-kejadian dalam suatu ruang contoh. Dikenal tiga operasi dasar dalam hal ini, yaitu gabungan, irisan, dan negasi.

A.    Gabungan

Dua kejadian dapat digabungkan menjadi satu kejadian lain yang mencakup keduanya. Kejadian mendapatkan sisi 1 atau sisi 2 apabila sebuah dadu dilempar misalnya, dan kejadian mendapatkan sisi 2 atau sisi 3 pada pelemparan tersebut dapat digabungkan menjadi satu kejadian lain, yaitu munculnya sisi dadu kurang dari 4. Apabila A dan B adalah dua kejadian dalam suatu ruang contoh, maka gabungan A dan B, dituliskan AÈB, adalah suatu kejadian yang anggota-anggotanya merupakan anggota A atau anggita B; AÈB = {e_i |e_i Î A  e_i Î B; A,B Ì S }. Gabungan dua kejadian A dan B dalam ruang contoh S digambarkan dalam diagram venn pada gambar 

Gambar.1 diagram ven gabungan dua kejadian

B.     Irisan

Suatu kejadian dikatakan sebagai irisan atau perpotongan dari dua kejadian lain apabila anggota-anggotanya merupakan anggota bersama dari dua kejadian tersebut. Apabila A dan B adalah dua kejadian dari suatu ruang contoh, maka irisan A dan B, dituliskan A

                            

                                          Gambar.2 diagram ven irisan dua kejadian

C.    Negasi

Negasi kejadian A dituliskan sebagai A’ dianamakan “bukan A”, adalah suatu kejadian yang anggota-anggotanya adalah semua anggota S yang tidak termasuk A. Irisan A dan A’ adalah himpunan kosong. Sedangkan gabungan A dan A’ adalah S

                                                                                                               

Gambar.3 diagram ven untuk kejadian umum (S), A dan bukan A

Contoh 2:

Perhatikan suatu ruang contoh dari hasil tos (lemparan) sebuah dadu, S={1,2,3,4,5,6}. Kejadian-kejadian berikut adalah kejadian-kejadian dalam ruang contoh S.

A= munculnya sisi ganjil = {1,3,5}; B= munculnya sisi genap = {2,4,6}; C= {1,2,3,4,5}; D = {4,5,6}; E = {1,2}; F = {3.4}

a)         AÈB = S

b)        AÇB = Æ

c)         BÈC = S

d)        BÇC = {2,4}

e)         (BÇC)ÇF = {4}

f)         (BÇC) ÈF = {2,3,4}

g)        BÈC = {1,2,4,5,6}

h)        F’ = {1,2,5,6}

i)          (DÈE)’ = {3}

j)          AÈC = {1,2,3,6}

III.        Peluang suatu kejadian

Dalam percakapan sehari-hari kita sering kali mengungkapkan suatu peristiwa atau kejadian dengan menggunakan kata-kata yang mengandung arti kemungkinan, kesempatan, atau peluang. Sebagai contoh, simaklaj kalimat-kalimat berikut ini:

a.    Waktu pagi hari matahari terbit dari arah barat

b.    Pada bulan-bulan tertentu, wilayah jakarta dan sekitarnya mengalami musim penghujan

c.    Hari ini cuaca mendung, kemungkinan besar hujan akan turun

d.   Dalam pertandingan final bulu tangkis, kekuatan pemain A seimbang dengan kekuatan pemain B. Kedua pemain itu mempunyai kesempatan yang sama untuk menjadi juara.

e.    Berdasarkan hasil-hasil ulangan yang diperoleh, Badu memiliki peluang yang kecil untuk menjadi juara kelas

Tiap orang percaya bahwa kejadian a adalah kejadian yang tidak mungkin (mustahil) terjadi, sedangkan kejadian b adalah kejadian yang pasti terjadi. Kejadian-kejadian c,d, dan e adalah kejadian yang mungkin saja terjadi, tetapi mungkin pula tidak terjadi. Meskipun tingkat keyakinannya telah ditentukan melalui kata-kata; kemungkinan besar, kesempatan yang sama, dan peluang yang kecil

Kata-kata kemungkinan lebih sering kita jumpai dalam permainan, misalnya dalam percobaan melempar sekeping mata uang logam, percobaan melempar dadu,  percobaan mengambil kartu dari satu tumpukkan kartu bridge, dan lain sebagainya. Cabang matematika yang mempelajari cara-cara perhitungan derajat keyakinan seseorang untuk menentukan terjadi atau tidak terjadinya suatu kejadian atau peristiwa disebut ilmu hitung peluang theory of probability).

A.    Menghitung peluang dengan pendekatan frekuensi nisbi

Menghitung peluang suatu kejadian dengan menggunakan pendekatan frekuensi nisbi dapat dideskripsikan melalui percobaan berikut:

Seorang siswa melakukan percobaan dengan melempar sekeping mata uang logam beberapa kali. Misalkan hasil percobaannya sebagai berikut

·           Untuk lemparan sebanyak 10 kali, didapat hasil munculnya sebanyak 6 kali.

Dalam hal demikian, dikatakan frekuensi munculnya gambar adalah 6 kali. Frekuensi nisbi munculnya gambar = 6/10 = 0.6

·           Untuk lemparan sebanyak 20 kali, didapat frekuensi munculnya gambar 9 kali. Frekuensi nisbinya = 9/20 = 0.45 (teliti sampai dua desimal)

·           Untuk lemparan sebanyak 30 kali, didapat frekuensi munculnya gambar 16 kali. Frekuensi nisbinya = 16/30 = 0.53 (teliti sampai dua desimal)

·           Untuk lemparan sebanyak 40 kali, didapat frekuensi munculnya gambar 21 kali. Frekuensi nisbinya = 21/40 = 0.525 (teliti sampai tiga desimal)

Hasil-hasil percobaan dan perhitungan di atas dapat disajikan dalam bentuk tabel, seperti diperlihatkan dalam tabel di bawah ini

Banyaknya lemparan	10	20	30	40
Frekuensi munculnya gambar	6	9	16	21
Frekuensi nisbi munculnya gambar	6/10	9/20	16/30	21/40

Berdasarkan tabel di atas, selanjutnya dapat dibuat grafik frekuensi nisbi munculnya gambar pada sebuah kertas grafik (perhatikan gambar di bawah). Grafik pada gambar tersebut juga menampilkan frekuensi nisbi munculnya gambar untuk lemparan 100 kali, yaitu dengan cara menjumlahkan lemparan sebanyak 10 kali, 20 kali, 30 kali, 40 kali. Pada lemparan 100 kali itu, frekuensi munculnya gambar = (6+9+16+21)=52 sehingga frekuensi nisbinya = 52/100 = 0,52

Dari grafik tersebut tampak bahwa frekuensi nisbi munculnya gambar mempunyai nilai yang dekat dengan 0,5. Jika jumlah lemparan pada percobaan itu lebih banyak lagi, maka frekuensi nisbi munculnya gambar akan lebih dekat lagi ke nilai 0,5. Bilangan 0,5 = ½ ini disebut peluang kejadian munculnya gambar pada percobaan melempar sekeping mata uang logam. Cara atau metode menghitung peluang seperti di atas disebut menghitung peluang dengan menggunakan pendekatan frekuensi nisbi.

Contoh 3:

Seorang siswa melempar sebuah dadu berisi 6 beberapa kali hasil yang mungkin muncul adalah salah satu dari mata dadu 1,2,3,4,5, atau 6. Yang menjadi pertanyaan adalah berapa nilai peluang kejadian munculnya mata dadu 1?

Jawab

·      lemparan sebanyak 25 kali, frekuensi munculnya mata dadu 1 adalah 3 kali. Frekuensi nisbinya = 3/25 = 0,12

·      lemparan sebanyak 50 kali, frekuensi munculnya mata dadu 1 adalah 9 kali. Frekuensi nisbinya = 9/50 = 0,18

·      lemparan sebanyak 75 kali, frekuensi munculnya mata dadu 1 adalah 11 kali. Frekuensi nisbinya =11/75 = 0,146

·      lemparan sebanyak 100 kali, frekuensi munculnya mata dadu 1 adalah 17 kali. Frekuensi nisbinya = 17/100 = 0,17

Banyaknya lemparan	25	50	75	100
Frekuensi munculnya gambar	3	9	11	17
Frekuensi nisbi munculnya gambar	3/25	9/50	11/75	17/100

B.            Menghitung peluang dengan pendekatan definisi klasik

Dalam percobaan melempar sekeping mata uang logam secara berulang-ulang, frekuensi nisbi munculnya sisi gambar dekat dengan nilai 1/2 . begitu pula untuk sisi tumlisan. Dalam hal demikian, dikatakan bahwa sisi gambar dan sisi tulisan mempunyai kesempatan yang sama untuk muncul. Ditulis:

P(gambar) = P(G) = ½

P(tulisan) = P(T) = ½

P(gambar) = P(G) = P(tulisan) = P(T) = ½

Pada percobaan melempar sebuah dadu berisi 6 secara berulang-ulang, frekuensi nisbi munculnya mata dadu 1 dekat dengan nilai 1/6. Begitu pula untuk mata dadu 2, 3,4,5,6. Dikatakan bahwa munculnya salah satu dari keenam mata dadu itu mempunyai kesempatan yang sama ditulis:

P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6) = 1/6

Dengan menggunakan pengertian “kesempatan yang sama” telah dijelaskan di atas, definisi peluang klasik dapat diungkapkan sebagai berikut.

Peluang klasik: misalkan dalam sebuah percobaan menyebabkan munculnya n hasil yang mungkin dengan masing-masing hasil mempunyai kesempatan yang sama (equally likely). Jika kejadian E dapat muncul sebanyak k kali, maka peluang kejadian E ditentukan dengan rumus:

Contoh 4:

Sebuah bilangan asli diambil secara acak (random) dari bilangan-bilangan asli 1,2,3,....,7,8,9 jika E adalah kejadian munculnya bilangan genap hitunglah peluang kejadian E

Jawab:

Karena pengambilan bilangan secara acak maka bilangan-bilangan itu memiliki kesempatan yang sama untuk terambil sehingga n = 9.

Kejadian E adalah kejadian munculnya bilangan genap, yaitu 2,4,6, dan 8, sehingga k =4.

Jadi, nilai peluang kejadian E adalah

C.    Frekuensi harapan suatu kejadian

Kita masih ingat bahwa, jika sekeping mata uang logam dilempar satu kali maka peluang munculnya sisi gambar sama dengan peluang munculnya sisi tulisan =1/2

atau 

Ungkapan diatas dapat diartikan bahwa, apabila sekeping uang logam dilemparkan sebanyak n kali maka diharapkan munculnya sisi gambar = munculnya sisi tulisan = (1/2 )n kali. Sebagai contoh, pada percobaan melempar sekeping mata uang logam sebanyak 50 kali, maka diharapkan munculnya sisi gambar sebanyak 25 kali dan munculnya sisi tulisan juga sebanyak 25 kali.

Dalam percakapan sehari-hari, kita sering mendengar ungkapan “harapan berbeda dengan kenyataan”. Begitu pula halnya dengan peluang sebuah kejadian. Misalnya pada percobaan melempar sekeping mata uang logam sebanyak 50 kali tadi, diharapkan munculnya sisi gambar 25 kali dan sisi tulisan 25 kali. Kenyataannya, dapat saja terjadi munclnya sisi gambar 21 kali dan sisi tulisan 29 kali. Selama perbedaan antara yang diharapkan dengan kenyataan tidak terlalu jauh, kejadian atau peristiwa seperti itu masih sah-sah saja. Kecurigaan akan segera muncul ketika sisi gambar hanya muncul 4 kali sedangkan sisi tulisan 46 kali, dimana antara harapan dengan kenyataan sangat jauh berbeda. Kecurigaan itu mungkin saja pada pelemparan yang tidak jujur (tidak fair), keping mata uang logam tidak simetris atau adanya faktor-faktor yang tidak terungkap. Jelas, untuk kejadian atau peristiwa yang terakhir ini bukan bidang kajian ilmu hitung peluang.

Sekarang kita simak kembali pada percobaan melempar sekeping mata uang logam sebanyak 50 kali, dengan harapa munculnya sisi gambar sebanyak 25 kali dan munculnya sisi tulisan 25 kali.

·         Bilangan 25 yang menyatakan harapan banyak kejadian munculnya sisi gambar disebut frekuensi harapan kejadian munculnya sisi gambar pada percobaan melempar sekeping mata uang logam sebanyak 50 kali.

·         Begitu pula dengan bilangan 25 yang kedua, yang menyatakan harapan banyak kejadian munculnya sisi tulisan disebut frekuensi harapan kejadian munculnya sisi tulisan pada percobaan yang sama.

Jadi, frekuensi harapan adalah banyak kejadian atau peristiwa yang diharapkan dapat terjadi pada sebuah percobaan.

Misalkan sebuah percobaan dilakukan sebanyak n kali dan P(E) adalah eluang kejadian E. Frekuensi harapan kejadian E ditentukan dengan aturan.

Contoh 5:

Sebuah dadu berisi enam dilempar sebanyak 300 kali. Hitunglah frekuensi harapan untuk kejadian-kejadian berikut.

a.       Kejadian munculnya mata dadu angka 4

b.      Kejadian munculnya mata dadu angka ganjil

Jawab:

Banyak percobaan n=300

a.       Misalkan E₁ adalah kejadian munculnya mata dadu angka 4, maka P(E₁)=1/6. Jadi, frekuensi harapan kejadian munculnya mata dadu angka 4 adalah

F_h(E₁) = n x P(E₁) = 300 x (1/6) = 50 kali.

b.      Misalkan E₂ adalah kejadian munculnya mata dadu angka ganjil, maka P(E₂)=1/2. Jadi, frekuensi harapan kejadian munculnya mata dadu angka ganjil adalah

F_h(E₂) = n x P(E₂) = 300 x (1/2) = 150 kali.

IV.             Kombinatorika

rumusan-rumusan kombinatorika bermanfaat untuk memudahkan perhitungan titik contoh dalam banyak kasus, rumusan-rumusan kombinatorika dapat digunakan untuk menghitung peluang suatu kejadian tanpa perlu mendaftar semua titik contoh yang tercakup didalamnya tetapi cukup mengetahui banyaknya titik contoh tersebut. Jika masing-masing titik contoh mempunyai peluang yang sama untuk muncul, maka peluang suatu kejadian A dapat dihitung yaitu

n(A) adalah banyaknya titik contoh yang termasuk dalam kejadian A, n(S) adalah banyaknya titik contoh dalam ruang contoh, S,n(S) disebut juga sebagai ukuran peluang contoh

A.       Tindakan ganda

Tindakan yang meliputi lebih dari satu tindakan dinamakan tindakan ganda. Dengan masing-masing tindakan memunculkan lebih dari satumacam hasil, ruang contoh yang terbangun dari suatu tindakan ganda meliputi titik-titik contoh yang merupakan suatu susunan yang unsur-unsurnya adalah hasil dari masing-masing tindakan.

Apabila suatu tindakan terdiri dari k rangkaian tindakan, dan tindakan-tindakan dalam rangkaian tersebut masing-masing dapat memunculkan n₁,n₂,....,n_k maka banyaknya hasil yang mungkin muncul dari keseluruhan tindakan-tindakan tersebut adalah:

n₁ x n₂ x ... x n_k

B.        Permutasi

Definisi permutasi:

Permutasi r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia (tiap unsur itu berbeda) adalah susunan dari r unsur itu dalam suatu urutan ( r £ n ).

Banyak permutasi r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia dilambangkan dengan notasi:

Contoh soal Permutasi:

a)      Berapa banyak permutasi dari 4 huruf A, B, C, dan D?

Jawab: 

·         Huruf pertama dalam susunan itu dapat dipilih dengan 4 cara, yaitu huruf A, atau B, atau C, atau D.

·         Huruf kedua dapat dipilih dengan 3 cara. Misalnya kalau huruf pertama dipilih B, maka huruf kedua yang dapat dipilih adalah D, atau A, atau C.

·          Huruf ketiga dapat dipilih dengan 2 cara. Misalnya kalau huruf pertama dipilih B dan huruf kedua dipilih D, maka huruf ketiga yang dapat dipilih adalah A dan C.

·         Huruf keempat dapat dipilih dengan 1 cara. Misalnya kalau huruf pertama dipilih B, huruf kedua dipilih D, dan huruf ketiga dipilih A, maka huruf keempat tinggal 1 pilihan, yaitu huruf C.

Dengan menggunakan aturan perkalian, banyak susunan yang mungkin itu seluruhnya adalah:

b)      Berapa banyak permutasi 2 huruf yang dapat diambil dari huruf-huruf A, B, C, dan D?

Jawab:

·         Huruf pertama dalam susunan itu dapat dipilih dengan 5 cara, yaitu A, atau B, atau C, atau D, atau E.

·         Huruf kedua dapat dipilih dengan 4 cara. Misalnya jika huruf pertama dipilih D, maka huruf kedua yang dapat dipilih adalah huruf A,B, C, dan E.

Dengan menggunakan aturan perkalian, banyak susunan yang mungkin itu seluruhnya adalah:

1.      Permutasi yang Memuat Beberapa Unsur Sama

*        Misalkan dari n unsur yang tersedia terdapat k unsur yang sama , maka banyak permutasi dari n unsur itu ditentukan dengan aturan.

*        Missalkan dari n unsur yang tersedia, terdapat k unsur yang sama, l unsur yang sama dan m unsur yang sama, maka banyak permutasi dari n unsur itu ditentukan dengan aturan.

Contoh soal Permutasi yang Memuat Unsur Sama:

Berapa banyak permutasi 3 huruf yang diambil dari huruf-huruf A, A dan B?

Jawab:

dengan member indeks pada huruf yang sama maka diperoleh permutasi sebagai       berikut.

A₁A₂B , A_2­A­₁B, A₁BA₂ , A₂BA₁ , BA₁A₂ , BA₂A₁

Permutasi-permutasi di atas dikelompokkan sedemikian rupa sehingga dalam satu kelompok memuat permutasi yang sama apabila indeksnya dihapuskan.

         Misalnya:

·               Kelompok A₁A₂B dan A_2­A­₁B jika indeks dihapus diperoleh permutasi A_­A­B

·               Kelompok A₁BA₂ dan A₂BA₁ jika indeks dihapus diperoleh permutasi A_­BA

·               Kelompok BA₁A₂ dan BA₂A₁ jika indeks dihapus diperoleh permutasi BAA

Dalam tiap-tiap kelompok di atas terdapat 2!=2 permutasi, yaitu menyatakan banyak permutasi dari unsur A₁ dan A₂. Sedangkan A₁ dan A₂ menjadi unsur-unsur yang sama jika indeksnya dihapuskan.

Dengan demikian, banyak permutasi 3 unsur yang memuat 2 unsur yang sama dapat ditentukan sebagai berikut.

Jadi, banyak permutasi dari huruf-huruf A_, A dan B adalah 3 macam.

Ketiga permutasi itu adalah AAB, ABA dan BAA.

2.      Permutasi Siklis

Misalkan tersedia n  unsur yang berbeda.

Banyak permutasi siklis dari n unsure itu ditentukan dengan aturan

P_siklis = ( n-1 )!

Contoh Soal Permutasi Siklis:

Misalkan ada 3 orang A (Ani),  B (Budi) dan C (Carli) menempati empat buah kursi yang mengelilingi sebuah meja bundar. Berapa banyak susunan yang dapat terjadi?

Jawab: 

Banyak unsur n=3, maka banyak permutasi siklis dari 3 unsur itu seluruhnya ada

Psiklis =  ( 3 - 1 )! = 2! = 1 x 2 = 2

Jadi, banyaknya susunan yang dapat terjadi ada 2 macam.

Yaitu :  jika ABC dan ACB.

3.       Permutasi Berulang

Jika unsur-unsur yang tersedia boleh berulang dalam suatu susunan, sehingga dapat diperoleh susunan-susunan huruf yang berbentuk seperti:

AAA, AAB, AAC, . . . , BBA, BBB, BBC, . . . , CCA, CCB, CCC, . . . , dan seterusnya. Maka permutasi semacam ini disebut permutasi berulang. 

Misalkan tersedia n  unsur yang berbeda.

Banyak permutasi berulang r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia ditentukan dengan aturan:

P_berulang =  n^r

Contoh Soal Permutasi Berulang:

Berapa banyak permutasi berulang dari tiga huruf A, B dan C ?

Jawab: 

Permutasi berulang dari 3 huruf A, B dan C dapat ditentukan dengan memakai aturan perkalian sebagai berikut.

·      Huruf pertama dapat dipilih dengan 3 cara, yaitu A, B dan C.

·      Huruf kedua dapat dipilih dengan 3 cara.

·      Huruf ketiga dapat dipilih dengan 3 cara.

Dengan menggunakan aturan perkalian, banyak susunan seluruhnya ada

3 x 3 x 3 = 3³ = 27

C.                Kombinasi

Misalkan tersedia 3 huruf A, B dan C akan diambil 2 huruf tanpa memperhatikan urutannya. Oleh karena urutan tidak diperhatikan, maka susunan AB = susunan BA, susunan AC = susunan CA, begitu pula susunan BC = susunan CB. Dengan demikian, hanya terdapat 3 pilihan, yaitu susunan-susunan AB, AC dan BC. Pilihan yang dilakukan dengan cara seperti itu disebut kombinasi 2 unsur diambil dari 3 unsur yang tersedia.

Jadi, kombinasi dapat didefinisikan sebagai berikut

            Definisi: Kombinasi

Kombinasi r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia (tiap unsur berbeda) adalah suatu pilihan dari r unsur tanpa memperhatikan urutannya (r £ n)

Banyak kombinasi r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia dilambangkan dengan notasi:                         

Contoh Soal Kombinasi:

1.      Tiga buah huruf diambil dari huruf-huruf P, R, O, D, U, K, S dan I. Berapa banyak cara memilih ketiga huruf itu jika urutan huruf tidak diperhatikan ?

Jawab: 

Banyak unsur yang tersedia n=8, yaitu huruf-huruf P, R, O, D, U, K, S dan I. diambil 3 huruf, r=3. Karena urutan tidak diperhatikan, maka banyak cara memilih merupakan kombinasi 3 unsur yang diambil dari 8 unsur yang tersedia.

Jadi, banyak cara memilih 3 huruf dari unsur-unsur P, R, O, D, U, K, S dan I seluruhnya ada 56 macam

2.      Dalam sebuah organisasi akan dipilih panitia yang terdiri dari 5 orang. Calon panitia yang tersedia terdiri dari 6 orang pria dan 5 orang wanita. Berapa banyak susunan panitia yang dapat dibentuk, jika disyaratkan:

a.      Anggota panitia terdiri atas 3 orang pria dan 2 orang wanita?

b.      Anggota panitia ini sekurang-kurangnya terdiri atas 2 orang pria?

Jawab: 

a.       -) 3 orang pria dipilih dari 6 orang pria yang tersedia merupakan kombinasi 3 unsur yang diambil dari 6 unsur

.

-) 2 orang wanita dipilih dari 5 orang pria yang tersedia merupakan kombinasi 2 unsur yang diambil dari 5 unsur.

Jadi, banyak banyak panitia yang dapat dibentuk yang terdiri dari 3 orang pria dan 2 orang wanita adalah

b.      Panitia terdiri dari 5 orang dengan syarat sekurang-kurangnya terdiri atas 2 orang pria. Kemungkinan susunannya adalah sebagai berikut:

·         2 orang pria dan 3 orang wanita

·         3 orang pria dan 2 orang wanita

·         4 orang pria dan 1 orang wanita

·         5 orang pria

-) Banyak panitia yang dapat dipilih dengan 2 orang pria dan 3 orang wanita,

-) Banyak panitia yang dapat dipilih dengan 3 orang pria dan 2 orang wanita,

-) Banyak panitia yang dapat dipilih dengan 4 orang pria dan 1 orang wanita,

-) Banyak panitia yang dapat dipilih dengan 5 orang pria,

Dengan menggunakan aturan penjumlahan, banyak susunan panitia secara keseluruhan adalah:

        

Jadi, banyak susunan panitia seluruhnya yang dapat dibentuk seluruhnya ada 430 macam

V.                KEJADIAN  TERPISAH (saling lepas)

Dua kejadian A dan B dikatakan sebagai dua kejadian terpisah apabila dua kejadian tersebut tidak mungkin muncul secara bersama-sama. Dengan kata lain, peluang munculnya dua kejadian trpisah, A dan B, secara bersama-sama adalah nol.

            Misalkan kejadian A dan kejadian B merupakan dua kejadian yang terpisah atau saling lepas, maka A Ç B = Æ (himpunan kosong) sehingga n(A Ç B) = 0. Karena n(A Ç B) = 0, maka

Catatan: P ( A È B ) = P ( A )  +  P ( B ) – P (A Ç B )

Substitusi P ( A Ç B ) = 0 dengan persamaan diatas, diperoleh:

            P ( A È B ) = P (A) + P (B) – 0

P ( A È B ) = P (A) + P (B)

Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa:

Jika A dan B masing-masing merupakan dua kejadian yang terpisah atau saling lepas, maka peluang gabungan dua kejadian yang saling lepas itu ditentukan dengan aturan

P ( A È B ) = P (A) + P (B)

Contoh peluang kejadian-kejadian terpisah

1.      A munculnya sisi muka, B munculnya sisi belakang apabila sebuah koin dilempar sekali.

2.      Apabila sebuah dadu dilempar sekali:

a.       A munculnya sisi genap, B munculnya sisi ganjil.

b.      A munculnya sisi prima, B munculnya sisi bukan prima.

c.       A munculnya sisi 1 atau 2, B munculnya sisi 3 atau 4, C munculnya sisi 5 atau 6.

Contoh Soal Peluang pada Kejadian Terpisah:

Sebuah kartu diambil secara acak dari 1 set kartu bridge. Berapa peluang yang terambil itu adalah kartu sekop atau kartu berwarna merah?

Jawab: 

Misalkan,

A adalah kejadian yang terambil kartu sekop, maka n (A) = 13

B adalah kejadian yang terambil kartu merah, maka n (B) = 26

Karena A dan B merupakan dua kejadian yang terpisah, maka

Jadi, peluang yang terambil itu kartu sekop atau kartu berwarna merah adalah

VI.             KEJADIAN SALING BEBAS

Menghitung peluang dua kejadian yang saling bebas, untuk memahaminya simaklah percobaan berikut ini.

            Dua buah dadu dilemparkan bersamaan satu kali. Misalkan:

·         Kejadian A adalah kejadian munculnya mata dadu pertama angka 2, maka

A = {(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6)}

·         Kejadian B adalah kejadian munculnya mata dadu kedua angka 5, maka

B = {(1,5), (2,5), (3,5), (4,5), (5,5), (6,5)}

Kejadian munculnya angka 2 pada dadu pertama tidak terpengaruh oleh kejadian munculnya angka 5 pada dadu kedua dan begitu sebaliknya. Dalam hal demikian , kejadian A dan kejadian B disebut dua kejadian saling bebas.

Menghitung peluang dua kejadian yang saling bebas sebagai berikut.
n(S) = 6 x 6 = 36

Berdasrkan perhitungan diatas, diperoleh hubungan berikut:

Jika kejadian A dan kejadian B bebas, maka berlaku:

P ( A Ç B ) = P (A) x P (B)

Sebaliknya, jika P(A Ç B) ¹ P (A) x P (B) maka kejadian A dan kejadian B tidak bebas.

VII.          KEJADIAN BERSYARAT

Misalkan pada percobaan melempar dadu sebanyak satu kali. Akan ditentukan kejadian munculnya mata dadu angka ganjil jika disyaratkan kejadian munculnya mata dadu angka prima terjadi terlebih dahulu.

Mula-mula ruang contoh S={1, 2, 3, 4, 5, 6}. Dengan syarat bahwa kejadian munculnya mata dadu angka prima terjadi dulu, maka ruang contohnya menjadi {2, 3, 5}. Dalam ruang contoh yang baru, yaitu {2, 3, 5}, kejadian munculnya mata dadu angka ganjil adalah {3, 5}. Kejadian ini disebut kejadian bersyarat, yaitu merupakan kejadian munculnya mata dadu angka ganjil yang ditentukan oleh persyaratan kejadian munculnya mata dadu angka prima terjadi terlebih dahulu.

Lalu timbul pertanyaan, bagaimana cara menghitung peluang kejadian bersyarat? Untuk menjawab pertanyaan itu, marilah kita simak kembali percobaan diatas.

·         Dalam ruang contoh semula S={1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(S) = 6 sehingga P({1}) = P({2}) = P({3}) = P({4}) = P({5}) = P({6}) =  1/6

A adalah kejadian munculnya mata dadu angka ganjil, A ={1, 3, 5} sehingga n(A) = 3 dan P(A) = 3/6

B adalah kejadian munculnya mata dadu angka prima, B ={2, 3, 5} sehingga n(B) = 3 dan P(B) = 1/3

·         Dalam ruang contoh yang baru B={2, 3, 5}, n(B) = 3 sehingga P({2}) = P({3}) = P({5}) = 1/3

Kejadian bersyarat A|B = {3, 5}, n(A|B) = 2

Peluang kejadian bersyarat A|B adalah P(A|B) =  =  , sebab kejadian bersyarat A|B terjadi dalam ruang contoh B.

Dari hasil-hasil perhitungan diatas, diperoleh P(A) =  , P(B) =  , P(AÇB) =   , dan P(A|B) =  , sehingga didapat hubungan sebagai berikut:

   

             

Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa:

1)      Peluang kejadian A dengan syarat kejadian B terjadi lebih dahulu, ditentukan dengan aturan

2)      Peluang kejadian B dengan syarat kejadian A terjadi lebih dahulu, ditentukan dengan aturan

VIII.       KAIDAH BAYES

Bayes adalah ahli matematika Eropa (1702-1761). Kaidah Bayes diambil dari teori Thomas Bayes tentang kejadian atau peluang bersyarat.

Beberapa percobaan dalam teori peluang kadang-kadang harus dilakukan melalui proses pengambilan contoh. Misalnya dari satu set kartu bridge akan diambil sebuah kartu sebanyak dua kali secara berurutan. Pengambilan kartu dilakukan secara acak. Pengambilan kartu dengan cara seperti ini disebut pengambilan contoh acak.

Munculnya kejadian pada pengambilan kartu kedua ditentukan oleh dengan atau tanpa pengambilan kartu yang diambil pada pengambilan pertama. Jadi, proses pengambilan contoh sebuah kartu sebanyak dua kali secara berurutan dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu:

1)      Mengambil contoh dengan pengembalian

Misalkan kartu pertama telah diambil. Kartu ini dekembalikan lagi sehingga jumlah kartu tetap seperti jumlah kartu semula. Kartu-kartu ini dikocok lagi, baru diambil kartu yang kedua.

2)      Mengambil contoh tanpa pengembalian

Misalkan kartu pertama telah diambil. Kartu yang telah diambil itu tidak dikembalikan. Jika jumlah kartu semula n. maka kartu berikutnya menjadi (n-1). Kartu-kartu sebanyak (n-1) buah itu dikocok, kemudian diambil kartu kedua.

A.     Peluang Kejadian pada Pengambilan Contoh dengan Pengembalian

Misalkan dari satu set kartu bridge akan diambil sebuah kartu sebanyak dua kali secara berurutan. Berapa peluang kejadian terambil kartu As pada pengambilan pertama dan kartu king pada pengambilan kedua, kalau kartu yang telah diambil pada pengambilan pertama dikembalikan?

Peluang kejadian di atas dapat dihitung sebagai berikut.

·         Misalkan E₁ adalah kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama, maka  

·         Kartu yang telah diambil pada pengambilan pertama dikembalikan, sehingga jumlah kartu dalam satu set tetap sebanyak 52 lembar.

Misalkan E₂ adalah kejadian terambilnya kartu King pada pengambilan kedua, maka  

·         Perhatikan bahwa E₁ dan E₂ merupakan dua kejadian yang saling bebas, maka 

Jadi, peluang kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama dan kartu King pada pengambilan kedua (kartu yang diambil pada pengambilan pertama dikembalikan) adalah

.

B.     Peluang Kejadian pada Pengambilan Contoh tanpa Pengembalian

Masalah yang sama seperti dalam pasal A, akan tetapi kartu yang diambil pada pengambilan pertama tidak dikembalikan.

Peluang kejadian dapat dihitung sebagai berikut.

·         Misalkan E₁ adalah kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama, maka

·         Kartu yang telah diambil pada pengambilan pertama tidak dikembalikan, sehingga jumlah kartu yang sekarang menjadi (52 – 1) = 52 lembar.

Misalkan E₂ adalah kejadian terambilnya kartu King pada pengambilan kedua (kejadian ini merupakan kejadian bersyarat E₂|E₁, sebab kejadian E₂ ditentukan oleh syarat kejadian E₁), maka  P(E₂|E₁) = 

Jadi, peluang kejadian terambilnya kartu As pada pengambilan pertama dan kartu King pada pengambilan kedua (kartu yang diambil pada pengambilan pertama tidak dikembalikan) adalah 

Daftar Pustaka

AntoJ, Supranto. 2008. Statistik Teori dan Aplikasi. Jakarta: Erlangga

Nugroho, Sigit. 2007. Dasar-dasar Metode Statistika. Bengkulu: Grasindo

Murray R Speigel dan I Nyoman Susila. 1984. Statistik. Jakarta: Erlangga

Saefudin, Asep. 2009. Statistika Dasar. Bogor: Grasindo

Sugiarto. 200. Metode Statistika. Jakarta: Gramedia Pustaka Utama

Sugiono. 2005. Statistika untuk Penelitian. Bandung: Alfabeta